Вопрос на тему Доказательство иррациональности корня из ч...

Доброго Вам времени суток. Я изучаю математику и связанные с ней науки, и у меня возникли сомнения по поводу наиболее распространённого доказательства иррациональности корня из числа. Предлагаю вспомнить это доказательство, а в качестве подкоренного числа возьмём двойку.

Пойдём от противного, представив, что квадратный корень из двух является рациональным числом.

• ?2=m/n

• 2=m?/n?

• m?=2n?

То есть, m?—чётное число, как и само значение m.

• m=2k, а m?=(2k)?=4k?

Итак,

• 2=4k?/n?

• 4k?=2n?

пришли к тому, что обе части равенства можно сократить на два, хотя, по условию, мы взяли несократимую дробь. Противоречие: несократимое дробное число можно сократить. Этим доказывается, что ?2—иррациональное число. Я не очень хорошо понимаю это доказательство, но я решил проверить: является ли ?4 рациональным числом?

Проверяем:

• ?4=m/n

• 4=m?/n?

• m?=4n?

M? кратно четырём, как и само значение m.

• m=4k, a m?=(4k)?=16k?

• 4=16k?/n?

• 16k?=4n?

Вновь пришли к противоречию, т.к. обе части равенства можно сократить как на два, так и на четыре. Подскажите, пожалуйста, если я где-то ошибся в своих рассуждениях, то где именно? А если нет, то почему это доказательство считается верным и есть ли другие способы доказать иррациональность корня из числа? Спасибо.