Как доказать, что периметр треугольника больше периметра квадрата?
Как известно, самая оптимальна геометрическая фигура, которая способна своим минимальным периметром охватить самую большую площадь - это окружность. А потому, чем более иная равносторонняя фигура приближается по своей форме к окружности, тем существеннее она будет иметь это преимущество. Квадрат оптимальнее вписывается в окружность, нежели равносторонний треугольник, потому, при равной площади периметр треугольника будет длиннее периметра квадрата.
Пусть S - известная площадь равностороннего треугольника и квадрата. Тогда
S^0,5 - сторона квадрата и
4(S^0,5) - периметр квадрата.
И пусть а - сторона равностороннего треугольника, тогда
S = (a^2)*(3^0,5)/4, откуда
а = (4S/(3^0,5)^0,5 = 2(S^0,5)/3^0,25) и
3а = 6(S^0,5)/3^0,25) - периметр равностороннего треугольника.
Делим периметр квадрата на периметр треугольника
(4(S^0,5))/(6(S^0,5)/3^0,25)) = 2(3^0,25)/3 = 0,87738... < 1.
Значит, периметр квадрата меньше периметра равностороннего треугольника с той же площадью примерно на 12 %.
Общеизвестно, что периметр любого прямоугольника всегда больше периметра квадрата той же площади. При этом, чем больше удлинение прямоугольника, чем больше он "худеет", тем стремительнее растет длина периметра при сохранении площади.
Как известно, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Или, иначе, площади прямоугольника со сторонами равными половине основания и высоте. Периметр такого условного прямоугольника (при равенстве площадей с квадратом) будет больше периметра квадрата. А периметр треугольника, одна из сторон которого равна сумме двух коротких сторон прямоугольника, а две другие стороны являются диагоналями прямоугольника и следовательно, их длина превышает длину любой стороны прямоугольника, периметр такого треугольника будет еще больше.
Ответ: периметр треугольника больше периметра квадрата - смотри доказательство выше.
В самом начале хочу отметить что
Это нонсенс. Такого не может быть.
Но раз есть задание, будем решать
Примем допущение что сторона квадрата а=1, так проще.
Тогда S■=а^2=1; S▲=1/2b*h или (√3*b^2)/4; согласно условию (√3*b^2)/4=1; тогда b^2=4√3/3; b=√(4√3/3)=1,519671371303185
Имея а=1 получим P■=4 и b=1,519671371303185 P▲=4,5… значит P▲>P■
Как то так.
Площади равностороннего треугольника и квадрата равны. Докажите, что периметр треугольника больше периметра квадрата.